İzin vermek s 0 veya 1 değerlerini alır, yani. s {0, 1}.

Notasyonu tanıtalım:

x s = Ø x, Eğer s = 0, x s = x, Eğer s = 1.

Onlar. x 0 = Ø x, x 1 = x.

bariz ki x s= 1 ise x = s Ve x s= 0 ise x s.

Teorem 4.5(bir Boole fonksiyonunun değişkenlerde genişletilmesi üzerine).

Her boole işlevi F(x 1 , x 2 , ... , x n) şu şekilde temsil edilebilir:

F(x 1 , x 2 , ... , x n) = F(x 1 , x 2 , ... , x m, x m +1 , ... , x n) =

V x 1 s 1 &x 2 s 2 &...&x m sm& F(s 1 , s 2 , ... sm, x m +1 , ... , x n), (4.1)

m n, burada ayırma tüm kümeler üzerinde alınır ( s 1 , s 2 , ... , sm) (onlar 2kişi m).

örneğin, için m = 2, n= 4 genişleme (4.1) dört içerir (2 m= 2 2 =4) bağlaç ve şu şekildedir:

F(x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = x &x &F(0, 0, x 3 , x 4)V x &x &F(0, 1, x 3 , x 4)V x & x &F(1, 0, x 3 , x 4)V x & x &F(1, 1, x 3 , x 4) = Ø x 1&Ø x 2 &F(0, 0, x 3 , x 4) V x 1 &x 2 &F(0, 1, x 3 , x 4)V x 1&Ø x 2 &F(1, 0, x 3 , x 4)V x 1 &x 2 &F(1, 1, x 3 , x 4).

Teoremin İspatı 4.5.

Eşitliğin (4.1) keyfi bir değişkenler kümesi için geçerli olduğunu gösterirsek, teorem ispatlanmış olacaktır ( y 1, y 2 , ... , y m, y m +1 , ... , y n) .

Bu keyfi değişken kümesini eşitliğin (4.1) sol ve sağ taraflarına yerleştiriyoruz.

Sol tarafta alıyoruz F (y 1, y 2 , ... , y n) .

T. için. y s= 1 sadece y = s, ardından 2 arasında m bağlaçlar y 1 s 1 &y 2 s 2 &...&y m sm(4.1)'in sağ tarafında sadece biri 1'e dönüşür - y 1 = s 1 ,…, y m = sm. Diğer tüm bağlaçlar 0'a eşittir. Bu nedenle, (4.1)'in sağ tarafında şunu elde ederiz:

y 1 y 1 &y 2 y 2 &...&ym ym&F(y 1, y 2 , ... , y m, y m +1 , ... , y n) = F(y 1, y 2 , ... , y n) .

Teorem 4.5 ispatlandı.

Teorem 4.6(SDNF'de bir Boole işlevinin bir formülle temsili üzerine),

Herhangi bir boole işlevi F(x 1 , x 2 , ... , x n), aynı şekilde 0'a eşit olmayan, SDNF'de, ayırıcı terimlerin bir permütasyonuna kadar benzersiz bir şekilde belirlenen bir formül ile temsil edilebilir.

Kanıt.

saat m = n Teorem 4.5'in önemli bir sonucunu elde ederiz:

F(x 1 , x 2 , ... , x n) = V x 1 s 1 &x 2 s 2 &...&x n sn, (4.2)

F(s 1 , s 2 , ... , s n) = 1

ayrılmanın tüm kümeler üzerinde alındığı yer ( s 1 , s 2 , ... , s n), nerede F = 1.

(4.2) açılımının, formülün SDNF'sinden başka bir şey olmadığı açıktır. F değerler tablosunda birim sayısı kadar bağlaç içeren F. Sonuç olarak, herhangi bir Boole işlevi için SDNF, ayırıcı terimlerinin bir permütasyonuna kadar benzersizdir.

Ayrıca Boole işlevi için F(x 1 , x 2 , ... , x n) aynı şekilde 0'a eşit, genişleme (2) mevcut değil.

Yukarıdakilerin ışığında, Boole fonksiyonunun formülünü elde etmek için F(x 1 , x 2 , ... , x n) SDNF'de aşağıdaki algoritmayı kullanabiliriz.

Algoritma 4.3. (Bir tablo tarafından verilen bir Boole işlevini temsil eden algoritma, SDNF'de bir formül).

Aşama 1. s 1 , s 2 , ... , s n, bunun için değer F 1'e eşittir, yani F (s 1 , s 2 , ... , s n) = 1.

Adım 2 Bu tür her küme için (tablonun satırları), bir bağlaç oluşturuyoruz x 1 s 1 &x 2 s 2 &...&x n sn, nerede x ben si = x ben, Eğer ben= 1 ve x ben si =Ø x ben, Eğer ben = 0, i = 1, 2, ... ,n.

Aşama 3 Ortaya çıkan tüm bağlaçların bir ayrılmasını yaparız. Sonuç, SDNF'de bu işlev için bir formüldür.

Örnek 4.15.

İşlev için SDNF'de bir formül bulun F(x 1 , x 2 , x 3) Tablo 4.4'te verilmiştir.

F(x 1 , x 2 , x 3) =1. Bu 4., 5. 6. ve 8. satırlar.

2. Seçilen her satır için 2. adımda belirtilen kurala göre bağlaçlar yaparız. Seçilen dört satır için sırasıyla şunları elde ederiz:

x 1 0 &x 2 1 &x 3 1 = Ø x 1 &x 2 &x 3 .

x 1 1 &x 2 0 &x 3 0 = x 1&Ø x 2&Ø x 3 .

x 1 1 &x 2 0 &x 3 1 = x 1&Ø x 2 &x 3 .

x 1 1 &x 2 1 &x 3 1 = x 1 &x 2 &x 3 .

3. Ortaya çıkan tüm bağlaçların bir ayrımını yaparız ve SDNF'yi buluruz:

F(x 1 , x 2 , x 3) = Ø x 1 &x 2 &x 3V x 1&Ø x 2&Ø x 3V x 1&Ø x 2 &x 3V x 1 &x 2 &x 3 .

Bu ifadenin, daha önce Örnek 4.13'te elde edilen SDNF'deki formülümüzün temsiliyle çakıştığından emin oluyoruz.

Yorum. Bir Boole işlevi SDNF'de bir formülle verilirse, Algoritma 4.3'ü ters sırada uygulayarak, bu işlev için kolayca bir değerler tablosu elde edebiliriz.

Teorem 4.7(bir Boole işlevinin SKNF'deki bir formülle temsili üzerine),

Herhangi bir boole işlevi F(x 1 , x 2 , ... , x n), 1'e özdeş olmayan, ayrık terimlerin bir permütasyonuna kadar benzersiz bir şekilde belirlenen SKNF'deki bir formül ile temsil edilebilir.

Kanıt.

Ø fonksiyonunu düşünün F(x 1 , x 2 , ... , x n). Teorem 4.6'ya göre, aynı şekilde 0'a eşit değilse, SDNF'de bunun için bir formül vardır. Bu formülü gösterelim F 1 . Açıkçası, Ø fonksiyonunun koşulu F(x 1 , x 2 , ... , x n) aynı şekilde 0'a eşit değildir, fonksiyonun şu koşula eşdeğerdir: F(x 1 , x 2 , ... , x n) aynı şekilde 1'e eşit değildir. Ayrıca, de Morgan yasasına göre, formül F 2ºØ F 1, SKNF'dedir (bir bağlacın olumsuzlanması, olumsuzlamaların ayrılmasıdır). Çifte olumsuzlama yasasına göre

F 2ºØ F 1ºØØ F(x 1 , x 2 , ... , x n) º F(x 1 , x 2 , ... , x n),

hangi teoremi kanıtlıyor.

Boolean fonksiyon formülünü almak için F(x 1 , x 2 , ... , x n) SKNF'de aşağıdaki algoritma kullanılmalıdır.

Algoritma 4.4. (Bir tablo tarafından verilen bir Boole işlevini temsil eden algoritma, SKNF'de bir formül)

Aşama 1. Tablodaki tüm değişken kümelerini seçin s 1 , s 2 , ... , s n, bunun için değer F (s 1 , s 2 , ... , s n) = 0.

Adım 2 Bu tür her küme için (tablonun satırları), bir ayırma oluştururuz

x 1Ø s 1V x 2 Ø s 2V...V x n Ø sn, nerede x ben Ø si = x ben, Eğer ben= 0 ve x ben Ø si = Ø x ben, Eğer ben = 1, i = 1, 2, ... , n.

Aşama 3 Ortaya çıkan tüm ayrılmaların birleşimini oluşturuyoruz. Sonuç SKNF'dir.

Örnek 4.16.

İşlev için SKNF'de bir formül bulun F(x 1 , x 2 , x 3) Tablo 4.4'te verilmiştir.

1. Tablodaki satırları seçin. F(x 1 , x 2 , x 3) = 0. Bunlar 1., 2. ve 3. ve 7. satırlardır.

2. Seçilen her satır için 2. adımda belirtilen kurala göre ayırmalar yaparız. Seçilen üç satır için sırasıyla şunları elde ederiz:

x 1 1V x 2 1V x 3 1 = x 1V x 2V x 3 .

x 1 1V x 2 1V x 3 0 = x 1V x 2V x 3 .

x 1 1V x 20 V x 3 1 = x 1V x 2V x 3 .

x 1 0V x 20 V x 3 1 = Ø x 1V x 2V x 3 .

3. Elde edilen tüm ayrımların bir birleşimini yaparız ve SKNF'yi buluruz:

F(x 1 , x 2 , x 3) = (x 1V x 2V x 3)&(x 1V x 2V x 3)&(x 1V x 2V x 3)&(Ø x 1V x 2V x 3).

Bu ifade, daha önce Örnek 4.14'te elde edilen SKNF'deki formülümüzün temsili ile örtüşmektedir.

Yorum. Fonksiyon tablosunda 2 satır olduğu için n, o zaman SDNF'deki ayırıcı terimlerin sayısı şuna eşitse P, ve SKNF'deki bağlaç terimlerinin sayısı eşittir Q, sonra P+Q=2n.

Bu nedenle, 4.15 ve 4.16 örneklerinde ele alınan fonksiyon için, n = 3, P = 4, Q = 4, P + Q = 8 = 2 3 .

G, 0 veya 1'e eşit bir parametre olsun.

Notasyonu tanıtalım:

Bunu kontrol ederek kontrol etmek kolaydır x G = 1 ancak ve ancak
x= G. Bağlantının 1'e eşit olduğu sonucu çıkar (burada G, 0 veya 1'e eşittir), ancak ve ancak . Örneğin, (içinde G 2 \u003d G 1 \u003d 0, G 3 \u003d G 4 \u003d 1 olan) bağlaç, yalnızca şu durumlarda 1'dir: x 1 = x 2 = 0, x 3 = x 4 = 1.

Teorem 1.Herhangi bir Boole işlevi f(x 1 , x 2 , x n) aşağıdaki biçimde temsil edilebilir:

burada 1 ≤ k ≤ n, ayrımda tüm değişken değer kümeleri üzerinden alınır.

Bu gösterime fonksiyonun değişkenler cinsinden açılımı denir. Örneğin, n = 4, k = 2 için genişleme (3.1) şu şekildedir:

.

(3.1) açılımını ispatlayalım. Bunu yapmak için, rastgele bir değişken değerler kümesi alın . (3.1) bağıntısının sol ve sağ taraflarının aynı değeri aldığını gösterelim. Nitekim, beri x G = 1 ancak ve ancak x= G, daha sonra 2 arasında (3.1)'in sağ tarafının sadece bir birleşimi birliğe dönüşür, burada . Diğer tüm bağlaçlar sıfıra eşittir.

Bu yüzden . Genişletmenin (3.1) bir sonucu olarak, aşağıdaki iki özel açılımı elde ederiz.

Değişken genişletme x n:

Boole işlevi 0 sabiti değilse, ayrıştırma

Tüm değişkenlerde genişleme:

, (3.3)

ayrılmanın tüm kümeler üzerinde alındığı yer , bunun için fonksiyonun değeri 1'e eşittir.

Ayrıştırma (3.3), fonksiyonun mükemmel ayırıcı normal formu (kısaltılmış gösterim SDNF) olarak adlandırılır.

Ayrıştırma (3.3), bir SDNF oluşturmanın bir yolunu verir. Bunu yapmak için doğruluk tablosundaki tüm satırları işaretleyin , hangi . Bu tür her satır için bir bağlaç oluştururuz ve ardından ortaya çıkan tüm bağlaçları bir ayrılma işaretiyle bağlarız.

Böylece fonksiyonun doğruluk tablosu arasında bire bir uygunluk vardır. ve onun SDNF'si. Bu da Boole işlevi için SDNF'nin benzersiz olduğu anlamına gelir.

sdnf'si olmayan tek bir boole işlevi 0 sabitidir.

örnek 1 Bir fonksiyon için mükemmel ayırıcı formu bulun .

Bu fonksiyon için bir doğruluk tablosu yapalım:

Buradan şunu elde ederiz: = = .

Mantık cebirinde önemli bir rol, Boole fonksiyonlarının aşağıdaki ayrıştırılmasıyla oynanır.

Teorem 2.Herhangi bir boole işlevi aşağıdaki biçimde sunulabilir:

1≤k≤n ve bağlaç alındığında 2 k değişken değer kümesinin tamamında.

Gerçekten, izin ver - keyfi bir dizi değişken değer. (3.4) bağıntısının sol ve sağ taraflarının aynı değeri aldığını gösterelim. Sadece ne zamandan beri, o zaman 2 k ayrım arasında (3.4)'ün sağ tarafında sadece bir tanesi kaybolur, bu durumda . Diğer tüm ayrımlar 1'e eşittir.

Bu yüzden = = .

Boolean fonksiyonlarının açılımları doğrudan genişlemeden (3.4) sonra gelir:

Son ayrışmaya mükemmel konjonktif normal form (CKNF) denir. Ayrıştırma (3.6), SKNF'yi oluşturmanın bir yolunu verir. Bunu yapmak için doğruluk tablosunda, içinde bulunduğu tüm satırları işaretliyoruz. Bu tür her satır için bir ayrılma oluştururuz ve sonra ortaya çıkan tüm bağlaçları bağlaç işaretiyle bağlarız. Böylece fonksiyonun doğruluk tablosu arasında bire bir uygunluk vardır. ve onun SKNF'si. Bu, Boole işlevi için SKNF'nin benzersiz olduğu anlamına gelir.

SKNF'ye sahip olmayan tek boole işlevi sabit 1'dir.

Örnek 2 Bir fonksiyon için mükemmel birleştirici normal formu bulun .

Bu fonksiyon için bir doğruluk tablosu yapalım.

Buradan SKNF'yi alıyoruz

Form formülü (kısa gösterim), nerede - bağlaçlar isminde ayırıcı normal form (DNF).

Verilen DNF tanımı sayesinde, örneğin, ifadeler olacaktır: , .

Paragraf 2.2'de belirtildiği gibi, tüm mantıksal işlemler üçe indirgenebilir: bağlaç, ayırma ve olumsuzlama. Ayrıca kanuna göre
de Morgan'a göre, olumsuzlama işaretinin yalnızca değişkenlere uygulanacağı varsayılabilir.

Şimdi, dağılım yasasını kullanarak parantezleri açıyoruz ve ayırıcı normal formu alıyoruz. Dolayısıyla aşağıdaki teorem doğrudur.

Teorem 3. Mantık cebirinin herhangi bir formülü için, ona eşdeğer bir ayırıcı normal form vardır.

Bu teoremin kanıtı, mantığın cebirindeki herhangi bir formül için ayrık bir normal form oluşturmanın bir yolunu verir.

Örnek 3 Aşağıdaki formül için ayrık normal formu bulun: .

Yasaya göre işaret hariç ve de Morgan ve çifte olumsuzlama yasalarını uygulayarak şunu elde ederiz:

Ardından, dağılım yasasını uygulayarak parantezleri genişletiriz.

Son ifade, ayırıcı normal formdur.

Şekli görüntüle (kısa gösterim), nerede - ayrılıklar isminde konjonktif normal form (CNF).

Bunlar, örneğin, ifadelerdir:

, .

Yukarıda gösterildiği gibi, herhangi bir mantık cebiri formülü için, ona eşdeğer bir ayırıcı form vardır. Dağılım yasasını kullanarak, belirli bir DNF'den bir CNF elde etmek kolaydır.

Dolayısıyla aşağıdaki teorem doğrudur.

Teorem 4. Mantık cebirinin herhangi bir formülü için, ona eşdeğer bir konjonktif normal form vardır.

Bu teoremin ispatı, mantık cebirindeki herhangi bir formül için birleşik normal bir form oluşturmanın bir yolunu verir.

Örnek 4 Aşağıdaki formül için ayrık ve birleştirici normal formları bulun: .

yasayı kullanmak , işareti hariç tutuyoruz . Formülü alıyoruz.

De Morgan yasasını kullanarak formülü elde ederiz. . Parantezleri genişleterek, ayrık normal formu elde ederiz.

.

Birleştirici normal formu elde etmek için formüle başvurun dağıtım yasası, şunu elde ederiz:

Son ifade, birleştirici normal formdur. ve'den beri, elde edilen CNF aşağıdaki CNF'ye eşdeğerdir:

Bu formülün tüm normal formülleri arasında, hem ayırıcı hem de bağlaç olan mükemmel normal formu seçiyoruz. Genişletme (3) göz önüne alındığında, tam olarak n farklı değişken içeren bir mantık cebiri formülünün mükemmel ayırıcı normal biçiminin, ayırıcı normal biçimi olduğunu görmek kolaydır, burada:

1) tüm bağlaçlar ikili olarak farklıdır;

2) her bağlaç tam olarak n değişken içerir;

3) her birleşimde tüm n değişken vardır.

Örnek 1'de, doğruluk tablosunun derlenmesine dayalı bir SDNF oluşturmanın yollarından birini ele aldık. SDNF'yi oluşturmanın bir sonraki yolu, mantık cebiri yasalarının uygulanmasına dayanır.

Örnek 5 Formülün mükemmel ayırıcı formunu bulun.

bunu kullanmak , alıyoruz. Kanunlar göz önüne alındığında
de Morgan ve çift olumsuzlama ile ayrık normal form elde ettik. Bu DNF, formüle eşdeğerdir.

Parantezleri genişleterek şunları elde ederiz: .

Bağımsızlık yasasını kullanarak gerekli SDNF'yi elde ederiz:

Ayrışmayı (3.6) dikkate alarak, tam olarak içeren mantık cebirinin formülünün mükemmel birleştirici normal formunun olduğunu görmek kolaydır. n farklı değişkenler, birleştirici normal formu vardır, burada:

1) tüm ayrımlar ikili olarak farklıdır;

2) her ayırma tam olarak n terim içerir;

3) Her bir ayrımda tüm n değişkenler vardır., içerdiği değişkenlerin tüm değerleri için true değerini alırsa.

Aynı doğru formüllerin örnekleri aşağıdaki formüllerdir:

aynı şekilde yanlış, içerdiği değişkenlerin tüm değerleri için false olarak değerlendirilirse.

Aynı şekilde yanlış formüllerin örnekleri aşağıdaki formüllerdir:

Mantığın cebir formülüne denir. yapılabilir, ise, içerdiği değişkenlerin bazı değerleri için true değerini alır.

Uygulanabilir formüllerin örnekleri aşağıdaki formüllerdir:

Mantık cebirinde şu problem ortaya çıkabilir: mantık cebirinin her formülünün aynı şekilde doğru olup olmadığını bulmasına izin veren bir yöntemi (algoritmayı) belirtmek. görev denir çözünürlük sorunları

Bu sorunu çözmek için aşağıdaki iki yolu düşünün.

Yöntem 1. (tablo) Verilen bir formülün birebir doğru olup olmadığını belirlemek için doğruluk tablosunu derlemek yeterlidir.

Ancak bu yöntem, çözülebilirlik sorununa temel bir çözüm sunsa da oldukça zahmetlidir.

Yöntem 2. formüllerin normal forma indirgenmesine dayanır.

Teorem 4.Mantık cebirinin bir formülü, ancak ve ancak birleştirici normal biçimindeki her ayrılma, olumsuzlaması ile birlikte bir değişken içeriyorsa, aynı şekilde doğrudur.

Gerçekten de, konjonktif normal formdaki her ayırma, olumsuzlaması ile birlikte bir değişken içeriyorsa, o zaman tüm ayırmalar 1'e eşittir, çünkü , . CNF'nin aynı şekilde doğru olduğu sonucu çıkar.

Şimdi verilen formül aynı şekilde doğru olsun ve bu formülün CNF'sinde bir miktar ayrılma var. Verilen ayrılığın, olumsuzlaması ile birlikte bir değişken içermediğini varsayalım. Bu durumda negatif olmayan her değişkene 0, negatif olan her değişkene 1 değerini verebiliriz.Bu değiştirmeden sonra tüm ayrımlar 0 olur, bu nedenle formül aynı şekilde doğru değildir. Bir çelişki yakaladık.

Örnek 7 Formülün aynı şekilde doğru olup olmadığını öğrenin

bunu kullanmak , alıyoruz.

Dağılım yasasını uygulayarak CNF'yi elde ederiz:

Her ayrılma, olumsuzlaması ile birlikte bir değişken içerdiğinden, formül aynı şekilde doğrudur.

Önceki teoreme benzer şekilde, aşağıdaki teorem kanıtlanmıştır:

Teorem 5.Mantık cebirinin bir formülü, ancak ve ancak ayrık biçimindeki her bağlaç, olumsuzlaması ile birlikte bir değişken içeriyorsa, aynı şekilde yanlıştır..

Küme cebiri ve mantık cebiri arasındaki bağlantı, 2 izomorfik sistemin olmasıdır.

BİLET 25

İkilik kavramı. İkilik ilkesi.

tanım Belirli bir boole işlevi için onun ikili denir: ).

Notlar.

Bir Boole fonksiyonu verilsin.

Yorum. fonksiyonlarda F i, ben=1,…,m bazı değişkenler kukla olabilir.

= = = =

Sonuçlar. F formülü ile B 0 =(x&y,x˅y,-,0,1) temelinde bir Boole işlevi verilmişse, ikili bir işlev elde etmek için bir değiştirme yapmak yeterlidir:

BİLET 26

Değişkenlerde boole fonksiyonlarının ayrıştırılması.

T. değişkenlerde bir Boolean fonksiyonunun genişletilmesi üzerine.

Herhangi bir Boole fonksiyonu f=f(x 1 ,…,x n) ve V 1≤k≤n için, x 1 =x, x 0 = ̚ x olmak üzere f(x1,…,xn)= gösterimi geçerlidir.

Rastgele bir Z=(α1,…,αn) kümesi alalım ve bunu formülün sol ve sağ kısımlarına yerleştirelim:

L.Ch.=f(α1,…,αn)

P.Ch.= =

{ 1 0 ==0; 0 1 =0; 1 1 =1; 0 0 ==1; }

Sağ taraf sol tarafla eşleşti.

Sonuç 1. Değişkenlerde bir Boole işlevini genişletme formülü:

k=1 olsun. Son değişkendeki açılımı alalım.

Sonuç 2. Bir fonksiyonun mükemmel bir ayırıcı normal formüle (SDNF) ayrıştırılması.

V adil = .

=1.

Teoremdeki k=n durumunu ele alalım, yani. tüm değişkenlerde genişleme.

Sonuç 3. Klasik temelde herhangi bir fonksiyonun temsil edilebilirliği üzerine.

Herhangi bir Boole işlevi, bir temel üzerinde bir formül olarak temsil edilebilir.

B 0= (x&y,x˅y,)

Yorum. Herhangi bir Boole işlevi için SDNF biçiminde bir temsil vardır ve bu gösterim benzersizdir.

BİLET 27

Mükemmel Ayırıcı Normal Formlar (PDNF)[ürünlerin toplamı ˅&].

Boole cebri işlemleri sistemi tamamlanmıştır ve herhangi bir mantıksal fonksiyonun tablo şeklinde tanımından Boole cebri formülüne geçiş her zaman mümkündür. Mantıksal bir fonksiyonun tablosal tanımından Boole formülüne geçişin pratik için çok önemli bir yöntemini formüle edelim. o

aşağıdaki adımları içerir:

f (x 1 , x 2 ,..., xn) fonksiyonunun 1'e eşit olduğu x 1 , x 2 ,..., xn değişkenlerinin her bir değer kümesi için, tüm değişkenlerin bağlaçları yazılır dışarı;

bu kümede 0'a eşit olan değişkenler üzerine olumsuzlamalar yerleştirilir;

· tüm bu tür bağlaçlar, ayrılma işaretleri ile birbirine bağlıdır.

Bu şekilde elde edilen formüle mantıksal fonksiyonun mükemmel ayırıcı normal formu (PDNF) denir.

Her işlev için SDNF benzersizdir.

Böylece, f (x 1 , x 2 ,..., xn) fonksiyonunun SDNF'si, temel bağlaçların bir ayrımıdır: D = K 1 ˅ K 2 ˅ ... ˅ K m , burada tüm bağlaçlar aynı sayıya sahiptir boole değişkenlerinin sayısına eşit faktörlerin sayısı ve bağlaçların sayısı, x 1 , x 2 ,..., xn , fonksiyonun f (x 1 , x 2) olduğu değişkenlerin değer kümelerinin sayısına eşittir. ,..., xn) 1'e eşittir. Bu koşulları karşılamayan D = K 1 ˅ K 2 ˅ ... ˅ K m biçimindeki bir mantıksal fonksiyonun diğer girişlerine denir.

bu işlevin ayrık normal formları (DNF).

BİLET 28

Perfect Conjunctive Normal Forms (CKNF)[toplamların çarpımı &˅].

İfade. Herhangi bir Boole işlevi için f=f(x1,…,xn),f ≠ 1 adil temsil

bizde: f* ≠ 0. Şimdi f* için bir SDNF oluşturalım.

Denklemin her iki tarafının ikilisini alın.

Değişiklik yapma:

= .

Yorum. Her boole işlevi için ≠ 1 SKNF şeklinde bir temsil vardır ve bu temsil tektir.

BİLET 29

Zhegalkin polinomları.

Mantık cebirinde, bir işlevi formül biçiminde temsil eden 3 kononik biçim genellikle ayırt edilir:

Zhegalkin polinomları

Tek terimli, 0,1, biçiminde bir formüldür.

Polinom Zhegalkin:

P=M 1 ⊕M 2 ⊕…⊕M k , M i bir tek terimdir.

Tüm monomials ikili olarak farklıdır.

Teorem. Herhangi bir Boole işlevi, bir Zhegalkin polinomu olarak temsil edilebilir ve bu gösterim benzersizdir.

i. Fonksiyonun temsil edilebilirliğini bir Zhegalkin polinomu olarak kanıtlıyoruz.

2 vaka düşünün

1. F ≠ 0, o zaman

˅ yerine ⊕ koyabiliriz, çünkü SDNF≠1'de iki terim yoktur.

Yani j () var

dönüşümler yapalım

Parantezleri açıyoruz, AA \u003d 0 kuralına göre benzerlerini veriyoruz.

Sonuç olarak, bir Zhegalkin polinomu olan her fonksiyon için Zhegalkin polinomunu elde ederiz.

II. Benzersizliği kanıtlıyoruz.

Dirichlet ilkesini kullanalım.

Zhegalkin polinomlarının sayısını hesaplayalım.

. Yani, 2 n sıfırdan farklı.

Boş tek terimli=1.

Bir polinom oluşturuyoruz:

Monomov = N=2 n

Polinomlar = 2 N =

Hiçbir şey dahil değilse, o zaman 0.

BİLET 30

Boole fonksiyonlarının bir sisteminin işlevsel bütünlüğü kavramı. Sistemin eksiksizliği (VE, VEYA, DEĞİL).

Tanım. Mantık cebirinin herhangi bir işlevi A üzerinde bir formülle ifade edilebiliyorsa, A mantık cebirinin bir dizi işlevine tam sistem (P2'de) denir. Teorem. A = (v, &, ─) sistemi tamamlandı.

Kanıt. Mantık cebir işlevi f özdeş olarak sıfır değilse, o zaman f, yalnızca ayrılma, bağlaç ve olumsuzlamayı içeren mükemmel bir ayırıcı normal biçim olarak ifade edilir. f≡ 0 ise, o zaman f = x*(─x). Teorem kanıtlanmıştır.

BİLET 31

Kapanış ve kapalı sınıflar.

1°. Kapalı bir sınıf kavramı.

Tanım 1. A ⊆ P2 olsun. O halde A'nın kapanışı, A üzerinde formüllerle ifade edilebilen mantık cebirinin tüm fonksiyonlarının kümesidir.

Tanım: [A].

Aşağıdaki özellikler gerçekleşir:

2) A ⊇ B ⇒ [A] ⊇ [B], ayrıca, çıkarımın sol tarafında katı bir katıştırma varsa, o zaman sağ tarafta katı bir katıştırma takip etmez - yalnızca A ⊃ B ⇒ [ A] ⊇ [B] doğrudur;

Tanım 2. Eğer [A] = P2 ise, A mantık cebirinin bir fonksiyon sistemine tam denir.

Tanım 3. A ⊆ P2 olsun. O zaman, A'nın kapanması A'nın kendisiyle çakışıyorsa, A sistemine kapalı sınıf denir: [A] = A.

2°. Kapalı sınıf örnekleri.

Sınıf T 0 = (f (x 1 , …, x n) | f (0, …, 0) = 0).

T 0 sınıfı, örneğin 0, x, xy, x ∨ y, x ⊕ y fonksiyonlarını içerir.

T 0 sınıfı 1, x , x → y, x | fonksiyonlarını içermez. y, x ↓ y, x ~ y.

Sınıf T 1 = (f (x 1 , …, x n) | f (1, 1, …, 1) = 1).

T 1 sınıfı 1, x, xy, x ∨ y, x → y, x ~ y fonksiyonlarını içerir.

T 1 sınıfı 0, x , x ⊕ y, x | y, x ↓ y.

Lineer fonksiyonların L sınıfı.

Tanım 4. Mantıksal cebir f (x 1 , …, x n)'nin bir fonksiyonuna lineer denir.

f (x 1 , …,x n) = bir 0 ⊕ bir 1 x 1 ⊕ … ⊕ bir n x n , burada bir ben ∈ (0, 1).

Başka bir deyişle, lineer bir fonksiyonun polinomunda bağlaç içeren terimler yoktur.

L sınıfı 0, 1, x = x⊕1, x ~ y, x ⊕ y fonksiyonlarını içerir.

Fonksiyonlar xy, x ∨ y, x → y, x | y, x ↓ y.

Kendinden çiftli işlevlerin S sınıfı.

Tanım 2. Bir mantık cebir fonksiyonu f (x 1 ,…, x n), f (x 1 ,…, x n) = f* (x 1 ,…,x n) ise self-dual olarak adlandırılır.

Başka bir deyişle, S = (f | f = f*).

Tanım 2. Mantıksal cebir f (x 1 ,…,xn)'nin bir fonksiyonu, karşılaştırılabilir herhangi iki ~α ve ~β kümesi için ima ~α≤ ~ β ⇒f(~α) ≤ f ( ise monotonik olarak adlandırılır. ~ β)

Tüm monoton işlevlerin M sınıfı.

M sınıfı, 0 , 1 , x , xy , x ∨ y, m (x, y, z) = xy ∨ yz ∨ zx işlevlerini içerir.

Fonksiyonlar x , x | y , x ↓ y , x ⊕ y , x ~ y , x → y

BİLET 32

Dersler sonrası.

Mesaj Kriterleri- Boole fonksiyonları teorisindeki merkezi teoremlerden biri, belirli bir Boole fonksiyonları kümesinin herhangi bir Boole fonksiyonunu temsil etmek için yeterli ifadeye sahip olması için gerekli ve yeterli bir koşul oluşturur. İlk olarak Amerikalı matematikçi Emil Post tarafından formüle edilmiştir.

Boole işlevi, türün bir işlevidir, burada ve aritedir. Farklı arite fonksiyonlarının sayısı eşittir, farklı Boole fonksiyonlarının toplam sayısı ise sonsuzdur. Bununla birlikte, birçok fonksiyonun süperpozisyon operatörünü kullanarak diğerleri cinsinden ifade edilebileceği açıktır. Örneğin, ayrılma ve olumsuzlamadan, de Morgan yasalarını kullanarak bir bağlaç elde etmenin mümkün olduğu uzun zamandır bilinmektedir. Ek olarak, herhangi bir Boole işlevi (özdeş sıfır hariç) bir DNF olarak, yani bağlaç, ayrılma ve olumsuzlama olarak gösterilebilir. Doğal bir soru ortaya çıkar: Belirli bir fonksiyon setinin herhangi bir Boole fonksiyonunu temsil etmek için yeterli olup olmayacağı nasıl belirlenir? Bu tür kümelere denir işlevsel olarak tamamlandı. Post teoremi bu soruyu cevaplar. Teoremin koşulları hem gerekli hem de yeterli olduğundan, aynı zamanda denir. kriter.

Teoremin fikri, tüm Boole fonksiyonlarının kümesini süperpozisyon işlemine göre bir cebir olarak düşünmektir. Şimdi adını taşıyor cebir sonrası. Bu cebir, alt cebirleri olarak, süperpozisyon altında kapalı olan fonksiyon kümelerini içerir. Onlar da denir kapalı sınıflar. 'nin bir alt kümesi olsun. kapatma kümesine içeren minimum alt cebir denir. Başka bir deyişle, kapatma, süperpozisyon olan tüm fonksiyonlardan oluşur. Açıkçası, ancak ve ancak , işlevsel olarak tamamlanmış olacaktır. Bu nedenle, belirli bir sınıfın işlevsel olarak eksiksiz olup olmadığı sorusu, kapanışının .

BİLET 33

tamlık kriteri.

Teorem 12 (Post teoremi). A = (f1, f2, …) mantığının cebirinin bir fonksiyonlar sistemi, P2'de ancak ve ancak tamamen aşağıdaki sınıflardan herhangi birinde yer almıyorsa tamamlanır: T0, T1, S, L, M.

Kanıt. İhtiyaç. A tam bir sistem olsun, N T 0 , T 1 , S, L, M sınıflarından herhangi biri olsun ve A ⊆ N olsun. O zaman [A] ⊆ [N] = N ≠ P2 ve [A] ≠ P2. Ortaya çıkan çelişki, zorunluluğun gerekçesini tamamlar.

yeterlilik. A ⊄ T 0 , A ⊄ T 1 , A ⊄ M, A ⊄ L, A ⊄ S olsun. O halde A, f 0 ∉ T 0 , f 1 ∉ T 1 , f m ∉ M fonksiyonlarını içerir,

f l ∉ L, f s ∉ S. [A] ⊇ = P2 olduğunu göstermek yeterlidir. İspatı üç bölüme ayıralım: olumsuzlama, sabitler ve bağlaçlar elde etmek.

a) ─x elde etmek . f 0 (x 1 , …, x n) ∉ T0 fonksiyonunu düşünün ve φ 0 (x) =f 0 (x, x, …, x) fonksiyonunu tanıtın. f 0 fonksiyonu sıfırı korumadığından, φ 0 (0) = f (0, 0, ..., 0) = 1. İki durum mümkündür: ϕ 0 (x) = ─x veya φ0 (x) ) ≡ 1. f 1 (x 1 , …, xn) ∉ T 1 fonksiyonunu düşünün ve benzer şekilde φ 1 (x) = f 1 (x, x, …, x) fonksiyonunu tanıtın. f 1 işlevi özdeşliği korumadığından, φ 1 (1) = f (1, 1, ..., 1) = 0. İki durum da mümkündür: ϕ 1 (x) = ─x veya φ1 (x) ≡ 0 En az bir durumda istenen olumsuzlama elde edilirse madde tamamlanır. Her iki durumda da sabitler elde edilirse,

o zaman, monoton olmayan fonksiyon lemmasına göre, sabitleri ve özdeş fonksiyonları f m ∉ M fonksiyonuna koyarak bir olumsuzlama elde edebiliriz.

Reddedildi.

b) 0 ve 1 sabitlerini elde etmek fs ∉ S'ye sahibiz. Self-dual olmayan fonksiyon lemmasına göre, fs fonksiyonunun tüm değişkenleri yerine (a noktasında elde edilen) ve özdeş fonksiyonu yerine koyarak, sabitleri elde edin: ∋ . Alınan sabitler.

c) x · y bağlacının elde edilmesi. Biz fl ∉ L fonksiyonuna sahibiz. Doğrusal olmayan fonksiyon lemmasına göre, (ispatın önceki adımlarında elde edilen) sabitleri ve olumsuzlamaları fl fonksiyonuna koyarak, kişi ya bir bağlacı ya da bir bağlaç. Bununla birlikte, ilk aşamada, olumsuzlama zaten elde edilmiştir, bu nedenle, bir bağlaç elde etmek her zaman mümkündür:

∋ . bağlaç alındı.

Sonuç, ⊇ [ ─x,xy] = P 2 . Son eşitlik Teorem 4'ün 2. maddesinden gelmektedir. Lemma 2 sayesinde yeterlilik ispatlanmıştır.

BİLET 34

Boole fonksiyonlarının fonksiyonel elemanların devreleri ile gerçekleştirilmesi.

*ders kitabı*

Boole fonksiyonlarının ana uygulamalarından biri, fonksiyonel elemanların diyagramlarını oluşturma veya fonksiyonel diyagramlar, sonlu sayıda giriş ve çıkışa sahip elektronik cihazlar olarak uygulanabilen ve her giriş ve çıkışta sadece iki değer görünebilen. Bu cihazlar şunlardan oluşur: fonksiyonel elemanlar, temel Boole işlemlerini oluşturma.

İşlevsel öğeleri birbirine bağlayarak, elde ederiz fonksiyonel diyagram. Herhangi bir Boole işlevini uygulamak için kullanılabilir.

Fonksiyonel elemanlardan oluşan bir devrenin karmaşıklığı, devredeki fonksiyonel elemanların sayısıdır.

Ayırıcı, invektör.

SFE - fonksiyonel elemanların şemaları.

F=(f 1 , f 2 , …, fm)

L(S) - karmaşıklık - devredeki fonksiyonel elemanların sayısı.

L(S) = minL(S) - devre oluşturabileceğiniz en küçük eleman sayısı.

L A (f) = L(S A (f)) devre karmaşıklığıdır.

L A (n) = maxL A (f), f ϵ . Max tüm değişkenleri devralır.

A için Shannon işlevi.

SDNF'ye izin ver ben (el) terimler.

f = k 1 ˅k 2 ˅…˅k ben

Ortaya çıkan şema S'yi belirtin, ardından

L(S) = L(Dn)+L(V ben)

L(Dn) = 2*2n + n - 4

ben≤ 2n

Sol(D ben)=ben- 1≤ 2 n – 1

L(S) ≤ (2*2 n + n - 4) + (2 n - 1) = 3*2 n + n - 5.

BİLET 35

Fonksiyonel elemanlardan devre sınıfında kod çözücünün uygulanması (eleman seçme devresi).

*ders kitabı*

n sıralı bir Qn kod çözücü, n girişi x 1 , x 2 , …, x n ve 2 n çıkışı z0, z 1 ,… olan işlevsel elemanların bir devresidir, öyle ki |x1x2…xn| = i, sonra zi = 1 ve i ≠ j için zj = 0.

i = (i 1 , i 2 , …, ben n) 2 ise z i (x 1 ,…,x n) = olduğuna dikkat edin.

Lemma. En fazla n2 n+1 elemanlı bir kod çözücü Qn vardır.

Kanıt. Her z i'yi uygulamak için, tam olarak n–1 bağlaç ve n'den fazla olmayan, yani toplamda 2n'den az işlevsel öğe almak yeterlidir. Tam olarak 2 n farklı bağlaç vardır ve kod çözücünün karmaşıklığı n 2n+1'i geçmez.

Önemsiz yöntemler, temel bağlaçların özerk uygulanmasına dayanır.

BİLET 36

Fonksiyonel elemanlardan devreleri sentezlemek için evrensel yöntemler.

Teorem. Herhangi bir Boole fonksiyonu f(x1,…,xn) için, uygulama devresi S oluşturulacak şekilde fonksiyonel elemanlardan devreleri sentezlemek için bir yöntem vardır, öyle ki

L(S) ≤ 3*2 n + n – 5 , dolayısıyla:

Sonuçlar. L(n) ≤ 3*2 n + n - 5

Yorum.

BİLET 37

Fonksiyonel elemanlardan devre sınıfında bir ikili toplayıcının uygulanması.

*ders kitabı*

Tanım. toplayıcı S n n sırasına 2n girişli devre denir x 1 , x 2 , …, x n, y 1 , y 2 , …, y n ve n + 1 çıktı z 0 , z 1 , z 2 , …, z nöyle ki | z| = |S n (x,y)| = |x|+|y|.

teorem. Temelde (˅, &, ̚ ) 9n – 5 eleman sayısı ile n sıralı bir devre toplayıcı vardır. Kanıt. Dilediğimiz devre toplayıcıyı oluşturalım. Bunu yapmak için, dört eleman içeren bir yarım toplayıcı hücre ve her biri dokuz eleman içeren n–1 toplayıcı hücre alın. Bu parçalardan bir toplayıcı oluşturalım.

İkili olarak yazılmış iki sayı olsun.

Zorluk: L(Bi)=9.

Teorem. L()=9n-5 şeklinde bir n-bitlik ikili toplayıcıyı sentezlemek için bir yöntem vardır.

BİLET 38

İfadelerin mantığı.

Önerme mantığı, belirli bir formüller kümesidir, yani. özel olarak oluşturulmuş yapay bir dilde yazılmış karmaşık ifadeler. Önerme mantığının dili şunları içerir:

1. sınırsız değişken seti: A, B, C, ..., A1, B1, C1, ... ifadeleri temsil eden;

2. mantıksal bağlaçlar için özel karakterler: & - "ve", v - "veya", V - "ya da, ya da", ? - "eğer öyleyse", ? - "eğer ve sadece", ~ - "bu doğru değil"

3. Sıradan dilde noktalama işaretleri rolü oynayan parantezler. Daha az parantez kullanmak için, önce olumsuzlama işleminin yapıldığı, ardından bağlaç ve ayrılmanın geldiği ve ancak ondan sonra ima ve eşdeğerliğin geldiği konusunda hemfikiriz.

Doğal dilde değişkenlerden ve bağlaçlardan oluşan önerme mantığı formülleri cümlelere karşılık gelir. Örneğin, A "gündüz" ifadesiyse, B "şimdi hafif" ifadesi ve C "Şimdi hava soğuk" ifadesiyse, formül şu şekildedir:

FAKAT? B v C veya tüm parantezlerle: (A? (B v C)) ,

"Günışığıysa, aydınlık veya soğuktur" ifadesini temsil eder. formül:

M.Ö? A veya ((B & C) ? A),

"Şimdi hafif ve soğuksa, gün ışığıdır" ifadesini temsil eder. formül:

~ İçeride mi? ~ A veya ((~ B) ? (~ A)) ,

“Şimdi ışık olduğu doğru değilse, gündüz olduğu doğru değil” ifadesini temsil eder. Değişkenler yerine diğer somut (doğru veya yanlış) ifadeleri değiştirerek, belirtilen formüllerin normal dile başka çevirilerini elde ederiz.

Anlamlı bir cümleye karşılık gelmeyen bir formül yanlış oluşturulmuştur.

Bunlar özellikle formüllerdir:

(A?), (& B), (A v BC), (~ &), vb.

Önerme mantığının her formülü, bu formüldeki belirli ifadelerin hangi ikameleri altında doğru bir karmaşık ifade verdiğini ve hangisinde yanlış olduğunu gösteren bir doğruluk tablosuna karşılık gelir. Örneğin, (~ B? ~ A) formülü, yalnızca B yerine yanlış bir ifadeyi değiştirirsek ve A - doğru yerine yanlış bir ifade verecektir.

Önerme mantığının veya totolojinin her zaman doğru formülü, belirli (yani doğru veya yanlış) önermelerin herhangi bir ikamesi için doğru bir önerme veren bir formüldür.

Başka bir deyişle, bir totolojinin iç yapısı, içerdiği değişkenleri hangi belirli ifadeleri değiştirirsek değiştirelim, her zaman doğru bir ifadeye dönüşmesini sağlar.

Temsil sorununu düşünün n-yerel boole işlevi F(x 1 ,x 2 ,…,x n) bazı önerme cebir formülü ile.

Bir parametrenin 0 veya 1'e eşit olduğu gösterimi tanıtalım.

bariz ki

Teorem 1.1. Mantık cebirinin her işleviF(x 1 , x 2 ,…, x n ) herhangim(1£ m £ n) aşağıdaki biçimde temsil edilebilir:

burada ayrım, değişkenlerin tüm olası değer kümeleri üzerinden alınır.

Kanıt. Belirli bir işlevin tüm değişkenlerinin rastgele bir değer kümesini düşünün. Bu kümede formül (1)'in sol ve sağ kısımlarının aynı değeri aldığını gösterelim. sol taraf , Sağ

Çünkü , sadece , ise , o zaman karşılık gelen mantıksal terim atılabilir.

Yorum. Teoremde belirtilen fonksiyonun temsiline, fonksiyonun aşağıdaki açılardan açılımı denir. m değişkenler .

sonuç 1(bir değişkende genişleme).

Bu durumda, fonksiyonlar Ve isminde ayrışma bileşenleri.

sonuç 2(tüm değişkenlerde genişleme).

Açıktır ki, eğer , sonra

Yani eğer fonksiyon F(x 1 ,x 2 ,…,x n) aynı şekilde yanlış bir işlev değilse, formun farklı ürünlerinin mantıksal bir toplamı olan eşdeğer bir formülle ifade edilebilir ve böyle bir temsil benzersizdir.

Formül (2)'nin formu büyük ölçüde basitleştirilebilir. Mantık cebirinin herhangi bir formülünün, eşdeğer dönüşümler aracılığıyla yalnızca bağlaç ve olumsuzlama veya ayrılma ve olumsuzlama içeren bir formüle indirgenebileceği bilinmektedir. Eşdeğer dönüşümlerin gerçekleştirilmesinin bir sonucu olarak, birkaç formül elde edilebilir, ancak bunlardan sadece biri aşağıdaki özelliklere sahip olacaktır:

1. Her mantıksal terim, formülde yer alan tüm değişkenleri içerir. F(x 1 ,x 2 ,…,x n).

2. Hiçbir mantıksal terim hem bir değişkeni hem de onun olumsuzluğunu içermez.

3. Formüldeki tüm mantıksal terimler farklıdır.

4. Hiçbir mantıksal terim aynı değişkeni iki kez içermez.

Bu dört özellik denir mükemmelliğin özellikleri(veya C'nin özellikleri).

Eğer F(x 1 ,x 2 ,…,x n) doğruluk tablosu tarafından verilirse, karşılık gelen mantık cebir formülü oldukça basit bir şekilde geri yüklenebilir. Tüm argüman değerleri için x 1 ,x 2 ,…,x n, hangi F 1 değerini alırsa, bağlaç terimini alarak önermelerin temel değişkenlerinin birleşimini yazmanız gerekir. x ben, Eğer x ben=1 ve eğer x ben=0. Kaydedilen tüm bağlaçların ayrılması gerekli formül olacaktır. Değerler hakkında F 0 endişelenmenize gerek yok, çünkü formüldeki karşılık gelen terim 0'a eşit olacaktır ve eşdeğerlik nedeniyle atılabilir FÚ 0 ≡ F.

Örneğin, fonksiyon olsun F(x, y, z) aşağıdaki doğruluk tablosuna sahiptir:

x	y	z	F(x, y, z)

Doğruluk tablosunu kullanarak değişkenlerin Boole fonksiyonlarını ayarlama, bir formül tanımlama, mantık cebirinin en önemli denkliklerinin (yasalarının) türleri. Eşdeğer formüller, denklik yasaları, mantıksal denklemler. Değişkenlerde boole fonksiyonlarının ayrıştırılması.

"Arşivi indir" butonuna tıklayarak ihtiyacınız olan dosyayı ücretsiz olarak indirmiş olacaksınız.
Bu dosyayı indirmeden önce, bilgisayarınızda sahiplenilmeyen iyi denemeleri, kontrolleri, dönem ödevlerini, tezleri, makaleleri ve diğer belgeleri hatırlayın. Bu senin işin, toplumun gelişimine katılmalı ve insanlara fayda sağlamalı. Bu eserleri bulun ve bilgi tabanına gönderin.
Bizler ve bilgi birikimini çalışmalarında ve çalışmalarında kullanan tüm öğrenciler, yüksek lisans öğrencileri, genç bilim adamları size çok minnettar olacağız.

Belgeli bir arşivi indirmek için aşağıdaki alana beş haneli bir sayı girin ve "Arşivi indir" düğmesini tıklayın.

Benzer Belgeler

Mantık cebirinin temel aksiyomları ve özdeşlikleri. Boole fonksiyonlarının analitik gösterim şekli. Mantık cebirinin temel işlevleri. Bir argümanın mantık cebirinin işlevleri ve gerçekleşme biçimleri. Mantıksal işlemlerin özellikleri, özellikleri ve türleri.

özet, eklendi 12/06/2010


Mantık cebiri kavramı, özü ve özellikleri, temel kavramlar ve tanımlar, çalışmanın konusu ve metodolojisi. Mantık cebirinin yasaları ve bunların sonuçları, belirli bir doğruluk tablosuna göre formül oluşturma yöntemleri. Boole fonksiyonlarının temsil biçimleri.

öğretici, 29/04/2009 eklendi


Boole cebirleri, mantık (hem insan düşüncesinin mantığı hem de dijital bilgisayar mantığı) ve ayrıca anahtarlama devrelerinde kullanılan özel bir tür kafeslerdir. Boole polinomlarının minimal formları. Soyut boole cebirinin teoremleri.

dönem ödevi, eklendi 05/12/2009


Mantıksal deyimler üzerinde işlemler: Boole işlevleri ve bu bağımlılıkların bazılarının diğerleri aracılığıyla ifadesi. Önerme formülleri ve önerme mantığının bazı yasaları. Doğal dil ifadelerinin mantık cebirinin sembolik konuşmasına çevrilmesi.

test, 26/04/2011 eklendi


Mantık, yasaların ve düşünme biçimlerinin bilimidir ve mantığın cebirinin temel kavramı bir ifadedir. Boole cebrinin temel kavramları ve özdeşlikleri. Boolean fonksiyonlarını en aza indirmek için yöntemlerin incelenmesi. Quine'ın yöntemi, iki temel ilişkinin uygulanmasına dayanmaktadır.

test, 01/20/2011 eklendi


Mantık cebirinin temel kavramları. Ayırıcı ve birleştirici normal formlar. Shannon teoreminin özü. İki değişkenli Boole fonksiyonları. İki anahtarın seri ve paralel bağlantısı. Mantık cebirinin temel fonksiyonlarının özellikleri.

test, 29.11.2010 eklendi


Mantık cebirinde Boole değişkeni. Mantıksal işlemler: olumsuzlama, bağlaç, ayrılma, ima, denklik. Mantık cebirinin temel yasaları. Mantıksal bir işlevi en aza indirmek için kurallar (ima ve eşdeğerlik işlemlerinden kurtulma).

dönem ödevi, eklendi 01/16/2012